-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathform_goniometrie.tex
176 lines (156 loc) · 7.77 KB
/
form_goniometrie.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
\section{GONIOMETRIE} \label{goniometrie}
\hypertarget{goniometrie}{}
\subsection{Goniometrische getallen van een hoek} \label{goniometrische_getallen}
\hypertarget{goniometrische_getallen}{}
\subsubsection{Hoofdwaarde van een hoek} \label{hoofdwaarde_hoek}
Als de hoekgrootte $\alpha$ is, dan zijn $\alpha + k\cdot 360\degree$, $k\in \mathbb{Z}$, ook waarden voor dezelfde hoek. De {\bf hoofdwaarde} is die waarde die behoort tot $]-180\degree,180\degree]$.
\subsubsection{Graden en radialen} \label{graden_radialen}
\begin{itemize}
\item Van graden naar radialen:
$$\alpha\degree = \alpha\cdot\frac{\pi}{180}\rad$$
\item Van radialen naar graden:
$$\alpha \rad = \alpha\cdot\frac{180\degree}{\pi}$$
\end{itemize}
De eenheid$\rad$ wordt bij afspraak niet vermeld.
\subsubsection{In een rechthoekige driehoek} \label{rechthoekige_driehoek}
\hypertarget{rechthoekige_driehoek}{}
\begin{center}
\includegraphics{rechtdriehoek.jpg}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha&=&\ds\Frac{A}{C}\\
\cos\alpha&=&\ds\Frac{B}{C}\\
\mbox{tg}\:\alpha&=&\ds\Frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\ds\Frac{A}{B}\\
\mbox{cotg}\:\alpha&=&\ds\Frac{1}{\mbox{tg}\alpha}=\ds\Frac{B}{A}
\end{eqnarray*}
\subsubsection{De goniometrische cirkel} \label{goniometrische_cirkel}
\hypertarget{goniometrische_cirkel}{}
\begin{center}
\includegraphics{goncirkel.jpg}
\end{center}
\subsubsection{Bijzondere hoeken} \label{bijzondere_hoeken}
\hypertarget{bijzondere_hoeken}{}
% todo: benamingen voor tg, cot, sec en csc zijn hier juist, maar in rest document anders (met mbox...)
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{c|ccccc}
$\alpha$ & $0=0\degree$ & $\frac{\pi}{6}=30\degree$ & $\frac{\pi}{4}=45\degree$ & $\frac{\pi}{3}=60\degree$ & $\frac{\pi}{2}=90\degree$\\
\hline
$\sin\alpha$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$\\
$\cos\alpha$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$\\
$\tan\alpha$ & $0$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $\infty$\\
$\cot\alpha$ & $\infty$ & $\sqrt{3}$ & $1$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & $0$\\
$\sec\alpha$ & $1$ & $\frac{2}{\sqrt{3}}$ & $\sqrt{2}$ & $2$ & $\infty$\\
$\csc\alpha$ & $\infty$ & $2$ & $\sqrt{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{3}$ & $1$\\
\end{tabular}
\end{center}
Om het goniometrische getal van een hoek in het tweede, derde of vierde kwadrant te vinden herleidt je deze hoek eerst naar een hoek van het eerste kwadrant met de formules van verwante hoeken (zie verder).
\subsubsection{Formules} \label{goniometrische_formules}
\hypertarget{goniometrische_formules}{}
\begin{itemize}
\item \textcolor{green}{Grondformule en afgeleide formules}
\begin{eqnarray*}
\ds\Frac{1}{\sin\alpha} & = & \mbox{cosec}\alpha\\
\ds\Frac{1}{\cos\alpha} & = & \mbox{sec}\alpha\\
\cos^2\alpha+\sin^2\alpha&=&1\\
1+\:\mbox{tg}^2\alpha &=&\:\mbox{sec}^2\alpha\\
1+\:\mbox{cotg}^2\alpha&=&\:\mbox{cosec}^2\alpha
\end{eqnarray*}
\item \textcolor{green}{\hypertarget{verwante_hoeken}{Verwante hoeken}}\label{verwante hoeken}
\begin{itemize}%verwante hoeken
\item[*] Tegengestelde hoeken ($\alpha$ en $-\alpha$)
\begin{eqnarray*}
\sin(-\alpha)& =&-\sin\alpha\\
\cos(-\alpha)&=&\cos\alpha\\
\mbox{tg}\:(-\alpha)&=&-\:\mbox{tg}\:\alpha\\
\mbox{cotg}\:(-\alpha)&=&-\:\mbox{cotg}\:\alpha
\end{eqnarray*}
\item[*] Supplementaire hoeken ($\alpha$ en $\pi-\alpha$)
\begin{eqnarray*}
\sin(\pi-\alpha)& =&\sin\alpha\\
\cos(\pi-\alpha)&=&-\cos\alpha\\
\mbox{tg}\:(\pi-\alpha)&=&-\:\mbox{tg}\:\alpha\\
\mbox{cotg}\:(\pi-\alpha)&=&-\:\mbox{cotg}\:\alpha
\end{eqnarray*}
\item[*] Complementaire hoeken ($\alpha$ en $\ds\Frac{\pi}{2}-\alpha$)
\begin{eqnarray*}
\sin(\ds\Frac{\pi}{2}-\alpha)& =&\cos\alpha\\
\cos(\ds\Frac{\pi}{2}-\alpha)&=&\sin\alpha\\
\mbox{tg}\:(\ds\Frac{\pi}{2}-\alpha)&=&\:\mbox{cotg}\:\alpha\\
\mbox{cotg}\:(\ds\Frac{\pi}{2}-\alpha)&=&\:\mbox{tg}\:\alpha
\end{eqnarray*}
\item[*] Antisupplementaire hoeken ($\alpha$ en $\pi+\alpha$)
\begin{eqnarray*}
\sin(\pi+\alpha)& =&-\sin\alpha\\
\cos(\pi+\alpha)&=&-\cos\alpha\\
\mbox{tg}\:(\pi+\alpha)&=&\:\mbox{tg}\:\alpha\\
\mbox{cotg}\:(\pi+\alpha)&=&\:\mbox{cotg}\:\alpha
\end{eqnarray*}
\item[*] Anticomplementaire hoeken ($\alpha$ en $\ds\Frac{\pi}{2}+\alpha$)
\begin{eqnarray*}
\sin(\ds\Frac{\pi}{2}+\alpha)& =&\cos\alpha\\
\cos(\ds\Frac{\pi}{2}+\alpha)&=&-\sin\alpha\\
\mbox{tg}\:(\ds\Frac{\pi}{2}+\alpha)&=&-\:\mbox{cotg}\:\alpha\\
\mbox{cotg}\:(\ds\Frac{\pi}{2}+\alpha)&=&-\:\mbox{tg}\:\alpha
\end{eqnarray*}
\end{itemize}%verwante hoeken
\item \textcolor{green}{\hypertarget{som-en_verschilformules}{Som- en verschilformules}}\label{som-en_verschilformules}
\begin{eqnarray*}
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\\
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\sin\beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\sin\beta\\
\mbox{tg}\:(\alpha+\beta)&=&\ds\Frac{\mbox{tg}\:\alpha+\:\mbox{tg}\:\beta}{1- \:\mbox{tg}\:\alpha\:\mbox{tg}\:\beta}\\
\mbox{tg}\:(\alpha-\beta)&=&\ds\Frac{\mbox{tg}\:\alpha- \:\mbox{tg}\:\beta}{1+ \:\mbox{tg}\:\alpha\:\mbox{tg}\:\beta}
\end{eqnarray*}
\item \textcolor{green}{\hypertarget{simpson}{Formules van Simpson}}\label{simpson}
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha+\sin\beta&=&2\sin\ds\Frac{\alpha+\beta}{2}\,\cos\ds\Frac{\alpha-\beta}{2}\\
\sin\alpha-\sin\beta&=&2\cos\ds\Frac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\ds\Frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha+\cos\beta&=&2\cos\ds\Frac{\alpha+\beta}{2}\,\cos\ds\Frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha-\cos\beta&=&-2\sin\ds\Frac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\ds\Frac{\alpha-\beta}{2}\\
\end{eqnarray*}
\item \textcolor{green}{\hypertarget{dubbele_hoek}{Formules voor de dubbele hoek}}\label{dubbele_hoek}
\begin{eqnarray*}
\sin(2\alpha)&=&2\sin\alpha\,\cos\alpha\\
\cos(2\alpha)&=&\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\\
\mbox{tg}(2\alpha)&=&\ds\Frac{2\:\mbox{tg}\:\alpha}{1-\:\mbox{tg}^2\alpha}
\end{eqnarray*}
\item \textcolor{green}{\hypertarget{t-formules}{t-formules}}\label{t-formules}\newline
Stel $\mbox{tg}\Frac{\alpha}{2}=t$, dan kunnen we $\sin\alpha, \cos\alpha$ en $\mbox{tg}\,\alpha$ schrijven in functie van $t$.
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha&=&\Frac{2t}{1+t^2}\\
\cos\alpha&=&\Frac{1-t^2}{1+t^2}\\
\mbox{tg}\,\alpha&=&\Frac{2t}{1-t^2}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\subsubsection{Oplossen van driehoeken} \label{oplossen_driehoeken}
\hypertarget{oplossen_driehoeken}{}
\begin{itemize}%oplossen van drhn
\item \textcolor{green}{Rechthoekige driehoeken}
\begin{itemize}%rechthoekige drhn
\item[*]De stelling van Pythagoras:
\[C^2=A^2+B^2\]
\end{itemize}%rechthoekige drhn
\item \textcolor{green}{Willekeurige driehoeken}\newline
%\docLink[tekening]{driehoek.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}
\includegraphics{driehoek.jpg}
\begin{itemize}%willekeurige drhn
\item[*] De \hypertarget{sinusregel}{{\bf sinusregel}}:\label{sinusregel}
\[\ds\Frac{A}{\sin\alpha}=\ds\Frac{B}{\sin\beta}=\ds\Frac{C}{\sin\gamma}=2R\]
met $R$ de straal van de omgeschreven cirkel.\newline
\item[*] De \hypertarget{cosinusregel}{{\bf cosinusregel}}:\label{cosinusregel}
\begin{eqnarray*}
A^2&=&B^2+C^2-2BC\cos\alpha\\
B^2&=&A^2+C^2-2AC\cos\beta\\
C^2&=&A^2+B^2-2AB\cos\gamma
\end{eqnarray*}
\end{itemize}%willekeurige drhn
\end{itemize}%oplossen van drhn
\subsection{Goniometrische functies}
Zie Sectie~\ref{goniometrische_functies} op pagina~\pageref{goniometrische_functies}.
% Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons
% Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported.
% Bezoek http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ om een kopie te zien
% van de licentie of stuur een brief naar Creative Commons, 444 Castro Street,
% Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.